menu

Thế nào là đếm được trong toán học?

Đăng lúc 13/05/2015, trong chuyên mục Toán sơ cấp

Bạn có thể đếm được số tự nhiên kiểu như 0, 1, 2, 3,… Vậy đối với số hữu tỷ thì sao? Nó có đếm được không và đếm bằng cách nào?

Thế nào là đếm được?

Câu hỏi chính của chúng ta là “Tập số hữu tỷ $\mathbb{Q}$ có đếm được không?” Nhưng khoan đã! “Đếm được” có nghĩa là sao?

Lưu ý, ở đây ta đề cập “đếm được” nhưng thật ra chính xác phải là “có tính đếm được“.

Có lẽ trong đầu bạn cũng hiểu nó là gì đó nhưng kêu định nghĩa chính xác câu chữ có lẽ sẽ gây ra cho bạn một chút lúng túng. Chưa hết, cách hiểu “đếm được” của bạn liệu có giống với “đếm được” trong câu hỏi “Tập $\mathbb{Q}$ có đếm được không?” hay không? Hay nói cách khác, “đếm được” theo nghĩa thông thường và “đếm được” trong Toán học là một hay là hai khái niệm khác nhau?

Ví dụ 1. Bắt đầu với nghĩa thông thường trước, có một hộp chứa một số viên bi để trên bàn, bây giờ bạn sẽ đếm nó. Đầu tiên bạn lấy ra một viên và đếm “một”, tiếp đến là viên thứ hai và đếm “hai”, cứ thế,…, cho đến viên cuối cùng, giả sử là 20, bạn đếm “hai mươi”. Vậy bạn đã đếm xong hộp bi đó và ta kết luận rằng hộp bi là đếm được và “đếm được” theo nghĩa thông thường cũng chính là những gì bạn đã làm ở trên.

Ví dụ 2. Xét một ví dụ khác, trong vườn nhà bạn có một đàn gà. Tôi hỏi bạn liệu tập hợp nguyên đàn gà đó có “đếm được” không? Có lẽ bạn sẽ trả lời rằng là đếm được và để chứng minh cho câu trả lời đó, bạn bắt đầu đếm. Giả sử toàn bộ số gà đang đứng yên ăn thóc, bạn sẽ đếm từ con gà bên trái cách xa bạn nhất, đếm là 1. Kế đến theo nguyên tắc từ xa tới gần, từ trái qua phải, bạn sẽ đếm lần lượt, 2 con, 3 con,… cho đến con ngoài cùng bên phải gần bạn nhất là xong số gà.

Liệu bạn có bỏ sót còn gà nào không? Rõ ràng theo cách đếm trên, bỏ sót là điều khó có thể xảy ra (trong điều kiện đàn gà đứng yên ăn thóc). Vậy đàn gà là đếm được.

Ví dụ 3. Bây giờ lân la qua Toán một tí để xem “đếm được” trong Toán có khác gì hay không. Tôi yêu cầu bạn hãy đếm số phần tử của tập hợp $A=\{1,3,6,7\}$. Bạn đếm được không? Cõ lẽ bạn sẽ trả lời là “được” và bắt đầu đếm.

  • 1 đếm là 1
  • 3 đếm là 2
  • 6 đếm là 3
  • 7 đếm là 4

Vậy tập hợp đó có 4 phần tử và bạn đã đếm được tập hợp đó hay tập hợp đó “đếm được”. Ố la la, có vẻ đếm được trong Toán cũng khá giống trong thực tế bình thường nhỉ.

Ví dụ 4. Bây giờ hỏi khó hơn, bạn có một chiếc xe tải chở đầy thóc. Hỏi đống thóc đó có đếm được không? Rõ ràng là có, chỉ cần đếm từng hạt, từng hạt là được. Ở ví dụ này, rõ ràng bạn không thể biết trước được số thóc kia có bao nhiêu nhưng bạn vẫn đếm được chúng. Hay nói cách khác, chúng đếm được.

Ví dụ 5. Tương tự cho một ví dụ bên Toán, ở Ví dụ 3, số phần tử quá ít nên có lẽ bạn đếm có vẻ dễ. Bây giờ cũng nâng cấp câu hỏi như Ví dụ 4 nhưng khó hơn trong Toán. Liệu tập $A$ = {Số tự nhiên lẻ} có đếm được không? Viết rõ ràng ra là $A=\{1,3,5,7,9,11,13,\ldots\}$. Câu hỏi sẽ rõ ràng hơn nếu chuyển về “Bạn sẽ đếm $A$ bằng cách nào?” Rõ ràng, chỉ cần chỉ ra được một cách đếm $A$ thì cũng có nghĩa nó đếm được.

Tôi sẽ bày bạn một cách đếm như sau, kêu tất cả các phần tử của A xếp thành một hàng ngang theo đúng thứ tự từ nhỏ đến lớn, nhỏ nhất ở bên trái.

  • Bây giờ, bắt đầu bằng thằng nhỏ nhất của $A$ (chính là số 1), tôi đặt trước mặt nó số “1” để minh hoạ cho “đếm thằng này là 1”.
  • Tới thằng thứ 2 là số 3, tôi cũng đặt trước nó số 2 để minh hoạ cho “đếm là 2”.
  • Số 5 – đặt số 3
  • “7” – “4”
  • “9” – “5”
  • “101” – “51”
  • “2n+1” – “n”

Tôi không biết có bao nhiêu số tự nhiên lẻ (tất nhiên bạn mãi mãi không biết vì đó là một con số vô hạn) nhưng tôi biết rằng tôi đang đếm được các phần tử của $A$ theo cách trên. Cũng giống như Ví dụ 2 khi đếm số gà, tôi đảm bảo rằng tôi sẽ đếm đủ các phần tử theo cách mà tôi đề ra. Nghĩa là, bạn có quyền chỉ ra một số lẻ bất kỳ trong A, tôi vẫn có thể chỉ ra cho bạn biết nó có được đếm hay không. Ví dụ, bạn hỏi, liệu số 2221 có được đếm không hay lại bỏ xót nó? Tôi bảo rằng “có”, số ấy tôi đếm là $\dfrac{2221-1}{2}=1110$.

Tới đây bạn thấy rằng ý nghĩa thực sự của từ “đếm được” trong toán học và trong thực tế cuộc sống vốn dĩ không khác nhau là mấy. Bạn chỉ cần chỉ ra được cách đếm và đảm bảo không bỏ sót bất kỳ phần tử nào thì tập đó là đếm được.

Một tập được gọi là đếm được nếu nó cùng lực lượng với một tập con của tập số tự nhiên. (Cantor)

Nói là nói thế chứ không thể dùng nó làm định nghĩa Toán học được vì có vẻ quá mơ hồ. Chính vì thế, các nhà Toán học đã cố định nghĩa chúng một cách tường minh hơn. Điển hình phải kể đến nhà toán học Georg Cantor. Theo ông, một tập được gọi là đếm được nếu nó cùng lực lượng với một tập con của tập số tự nhiên.

“Cùng lực lượng” có thể hiểu là “cùng số phần tử”. Nhưng bạn sẽ thắc mắc, khi số phần tử là vô hạn thì làm sao biết để so sánh có cùng số phần tử hay không? Ví dụ như ở ví dụ 5, rõ ràng ta không thể biết nó có bao nhiêu phần tử thì làm sao biết “có cùng số phần tử” là cùng thế nào? Chính vì thế mà tập đếm được trong Toán học sẽ phân ra làm hai loại, một là “tập hữu hạn” và hai là “tập vô hạn đếm được“. Tập hữu hạn như ở Ví dụ 3, còn tập vô hạn đếm được như ở Ví dụ 5.

Ở đây nhắc tới khái niệm “Tập vô hạn đếm được” tức phải có khái niệm “Tập vô hạn không đếm được“. Vâng, ví dụ như tập hợp các số thực $\mathbb{R}$, bạn không thể biết có tất cả bao nhiêu số thực vì nó là một tập vô hạn, bạn cũng không tài nào chỉ ra được một thuật toán có thể đếm được các phần tử của $\mathbb{R}$ nên nó không đếm được, gọi ngắn gọn, nó là “tập vô hạn không đếm được”.

Nói thêm, cái cách mà bạn “đặt tương ứng” các phần tử xếp hàng và các số đếm trước mặt như ở Ví dụ 5 thì theo nghĩa Toán học, bạn đã xác định được một ánh xạ song ánh giữa tập bạn cần đếm với tập các số đếm (tập con của tập số tự nhiên). Khi ấy muốn chứng minh một tập là đếm được thì ta cần chỉ ra một ánh xạ song ánh đi từ tập đó đến tập con của tập số tự nhiên. Nói tới ánh xạ ghê gớm quá nên tôi bỏ qua và dành cho các bạn chuyên Toán tự tìm hiểu thêm.

Tiếp theo, ta sẽ đi vào trả lời cho câu hỏi “Tập số hữu tỷ Q có đếm được không?”. Câu trả lời là “CÓ” và điều chúng ta cần tìm hiểu ở đây chính là “Tại sao?”. Tại sao theo nghĩa Toán học và Tại sao theo nghĩa thông thường.

Ở phần trước, bạn đã biết, nếu muốn kiểm tra một tập có đếm được hay không trong Toán học thì ta cần chỉ ra được “cách đếm” và đảm bảo “đếm đủ”. Do đó ở phần này, để chứng minh $\mathbb{Q}$ đếm được, ta cũng chỉ ra cách đếm nó và cũng đảm bảo không sót bất kỳ phần tử nào.

Trước hết, ta cần một bước trung gian, đó là chỉ ra rằng tập số nguyên $\mathbb{Z}$ là đếm được trước.

Tập số nguyên $\mathbb{Z}$ có đếm được không?

Đây là một câu hỏi dễ hơn câu hỏi chính và cũng khá tự nhiên. Tập $\mathbb{Z}$ rộng hơn tập $\mathbb{N}$, nó có chứa thêm những phần tử kèm dấu trừ “-” của tập $\mathbb{N}$. Câu hỏi đặc ra khi $\mathbb{N}$ đếm được thì liệu tập $\mathbb{Z}$ có đếm được không? $\mathbb{Z}= \{\ldots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\ldots \}$ Đây được xem là bước trung gian và cần thiết để chứng minh tập $\mathbb{Q}$ là đếm được.

Tôi sẽ đếm $\mathbb{Z}$ như thế nào? Sau đây là cách đếm.

  • Đầu tiên tôi đếm số 0 ở chính giữa là “0”.
  • Kế đến tôi đếm số 1 ở bên phải là “1”.
  • Sau đó tôi nhảy sang trái để đếm số -1 là “2”.
  • Rồi nhảy sang phải để đếm 2 là “3”
  • Sang trái để đếm -2 là “4”
  • Tôi cứ nhảy hết sang trái rồi lại sang phải như vậy, con số đếm của tôi cứ thế tăng dần cho đến vô tận.

Tôi không đi vào chứng minh Toán học mang nặng lý thuyết vì đó không phải là mục đích chính của bài này. Cái tôi muốn cho bạn thấy là ta có thể đếm được $\mathbb{Z}$. Cái cách mà bạn đặt

Chứng minh toán học cho $\mathbb{Q}$ là tập đếm được

Chứng minh Toán học có nghĩa là phải chỉ ra cho được một đơn ánh đi từ $\mathbb{Q}$ vào $\mathbb{N}$. Hay nói đúng hơn, là đi từ $\mathbb{Q}$ vào $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$. Và ta cần phải chỉ ra thêm tích Descartes của hai tập đếm được là một tập đếm được. Chóng mặt rồi đây, xin dành cái này cho dân chuyên Toán, hãy đọc các cách chứng minh khác nhau ở đây. Dân không chuyên hãy quên mục này đi và chuyển qua phần kế nhé!

Đếm $\mathbb{Q}$ ra sao?

Quay lại cái cách mà tôi đã đếm $\mathbb{N}$ và $\mathbb{Z}$. Ta có thể tổng hợp cách tổng quát cho cả hai cách này. Đó chính là liệt kê tất cả các phần tử theo một trật tự nào đó trên một đường thẳng đủ để đảm bảo với cách liệt kê đó, không sót một phần tử nào. Sau đó chỉ việc đếm từ trái sang phải là xong.

Với $\mathbb{N}$, ta liệt kê nó y như trên trục số, xem hình dưới

Liệt kê tập số tự nhiên

Với $\mathbb{Z}$, ta liệt kê theo cách sau (di chuyển theo mũi tên cam)

Liệt kê tập số nguyên

Sau khi di chuyển theo mũi tên cam, ta sẽ có $\mathbb{Z}$ được liệt kê như sau

Dạng liệt kê gọn của tập số nguyên

Bây giờ, ta cũng tìm cách biểu diễn TẤT CẢ các phần tử của $\mathbb{Q}$ trên một trục y như $\mathbb{N}$ và $\mathbb{Z}$ là xong. Trước khi biểu diễn, ta phân loại $\mathbb{Q}$ ra làm hai tập, một chỉ chứa những phần tử mang dấu “+” (tức toàn số dương), tập này cũng chứa cả số 0. Tập còn lại chứa toàn những phần tử mang dấu “-” (tức toàn số âm). Hay viết ngắn gọn lại là $\mathbb{Q}=\mathbb{Q}^+ \cup {0} \cup \mathbb{Q}^-$.

Bây giờ ta biểu diễn $\mathbb{Q}^+$ trước, sau đó chỉ việc lấy đối xứng sẽ được $\mathbb{Q}^-$. Rồi sau khi có được cách biểu diễn $\mathbb{Q}^+$ và $\mathbb{Q}^-$ xong, ta làm y như cách đã làm với $\mathbb{Z}$ là OK.

Cách biểu diễn $\mathbb{Q}^+$ được minh hoạ bởi hình dưới (đi theo mũi tên màu tím), hình ảnh tham khảo từ trang này.

Dạng liệt kê gọn của tập số hữu tỷ dương

Rõ ràng trong cách minh hoạ trên, tôi đã không bỏ sót bất cứ phần tử nào của $\mathbb{Q}^+$ bởi vì nếu lấy một phân số dương bất kỳ, khi ấy phân số đó có dạng $\dfrac{m}{n}$ với $m,n>0$ nào đó. Khi ấy, tôi chỉ việc chỉ ra vị trí của nó trong bảng trên chính là hàng m và cột n là xong!

“Làm thẳng” đường màu tím, ta sẽ được đường có dạng sau

Dạng liệt kê gọn của tập số hữu tỷ dương

Bây giờ chỉ việc thêm vào phần $\mathbb{Q}^-$ và số 0 :

Dạng liệt kê gọn của tập số hữu tỷ dương

Xong ta áp dụng các vòng tròn màu cam giống như ở cách đếm $\mathbb{Z}$ để hoàn thành việc chỉ ra cách đếm cho $\mathbb{Q}$.

Dạng liệt kê gọn của tập số hữu tỷ dương

Vậy ta là ta đã biết được cách đếm $\mathbb{Q}$ rồi đấy. Cám ơn bạn đã theo dõi bài này.

đếm được
toán sơ cấp
hiểu toán học
Top