menu

Tại sao tiếp tuyến đồ thị hàm số lại liên quan đến đạo hàm bậc nhất?

Đăng lúc 28/06/2014, trong chuyên mục Toán sơ cấp

Đa phần bạn học về tiếp tuyến là chấp nhận về công thức để làm bài tập và không hoặc chưa hiểu được từ đâu nó lại có như vậy. Bài viết hy vọng một phần nào giải thích được mối liên hệ giữa tiếp tuyến đồ thị hàm số với đạo hàm trong công thức tiếp tuyến.

Trước tiên bạn cần hiểu rõ đạo hàm bậc nhất là gì? (bổ sung sau). Tiếp đến bạn cần biết định nghĩa thế nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm. Blog chưa cập nhật định nghĩa đúng từng câu từng chữ như trong SGK của bạn đang học nhưng có thể hiểu như sau.

Định nghĩa (Tiếp tuyến đồ thị hàm số)

Tiếp tuyến của đồ thị một hàm số tại một điểm là một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm đó.

Và công thức để xác định tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm $M(x_0;y_0)$ được xác định như sau

Trong công thức trên, ta thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm, $f’(x_0)$ chính là hệ số góc của tiếp tuyến. Thế nhưng hệ số góc là gì? Xem bên dưới nhé.

Định nghĩa (Hệ số góc của đường thẳng)

Hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$ với $a\ne 0$ là hệ số của góc tạo thành khi đường thẳng cắt trục hoành $x’Ox$ tại một hoành độ và hợp với trục tung $y’Oy$ tạo thành một góc. Vì $a$ của đồ thị hàm số liên quan đến góc này nên $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b$.

  • Khi $a>0$ thì góc tạo thành là góc nhọn và nằm bên trái $Oy$.
  • Khi $a<0$ thì góc tạo thành là góc tù và nằm bên phải trục tung $Oy$.
  • Khi $a=0$ ta không có hệ số góc vì lúc này đường thẳng sẽ song song với trục hoành.

OK, mọi chuẩn bị gần như đã hoàn tất, bây giờ bạn bắt đầu đi vào vấn đề chính: Tại sao trong công thức tiếp tuyến lại xuất hiện đạo hàm bậc nhất? Hay cụ thể hơn tại sao hệ số góc của tiếp tuyến lại là $f’(x_0)$? Bây giờ ta xét một cát tuyến bất kỳ của hàm số $y=f(x)$ đi qua điểm $M(x_0;f(x_0))$ và điểm $N(x_0+h;f(x_0+h))$ như hình vẽ bên dưới. Khi ấy 2 giao điểm của cát tuyến với đồ thị hàm số sẽ có hoành độ cách nhau một khoảng $h$ (từ $x_0$ đến $x_0+h$).

Tiếp tuyến

Ta giả sử phương trình cát tuyến của nó có dạng (gọi là đường (d))

Do (d) đi qua cả $M(x_0;f(x_0))$ lẫn $N(x_0+h;f(x_0+h))$ nên

Đừng quá ngạc nhiên tại sao lại có 2 cái trên, vì bạn chỉ việc thế $M,N$ và phương trình đường (d) là ra ngay. Tiếp tục, lấy vế trừ vế, ta suy ra hệ số góc của đường (d) khi ấy sẽ được tính thông qua

Bạn hãy trả lời cho mình biết là khi nào cát tuyến ấy trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số? Hay một câu hỏi cụ thể hơn, h bằng bao nhiêu thì cát tuyến thành tiếp tuyến? Hãy suy nghĩ câu trả lời này rồi hãy đọc tiếp.

Thử tưởng tượng cát tuyến của chúng ta bị đóng 1 cây đinh ngay tại điểm M, đầu còn lại của cát tuyến là có thể di chuyển được và bạn dùng tay của mình cầm 1 đầu kéo cát tuyến lên hoặc xuống nhưng vẫn đảm bảo là không ra ngoài đồ thị hàm số. Khi ấy khoảng cách giữa 2 giao điểm có còn là h nữa không? Tất nhiên là không rồi, khi ấy khoảng cách giữa chúng có thể là $h’$ hoặc $h’’$ như hình bên dưới $(h’‘<h’<h)$.

Tiếp tuyến

Bạn có để ý rằng khi khoảng cách h của chúng ta càng nhỏ lại ($h$ tiến về 0) thì khả năng cát tuyến trở thành tiếp tuyến càng lớn thêm và nó sẽ là tiếp tuyến khi $h=0$? Vâng, đây chính là câu trả lời cho câu hỏi nhỏ ở phía trên. Nếu khó tưởng tượng, bạn có thể xem hình bên dưới.

Tiếp tuyến

Như vậy bạn đã rút ra được kết luận là khi $h \to 0$ thì cát tuyến sẽ thành tiếp tuyến và để tính hệ số góc của tiếp tuyến ta chỉ việc dựa vào công thức $\eqref{heso}$. Hay nói cách khác, từ $\eqref{heso}$, nếu cho $h \to 0$ bạn sẽ có được hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm M.

Nhìn vào công thức trên bạn có thấy quen? Vâng, đó chính là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ $x=x_0$ hay $f’(x_0)$.

đồ thị
tiếp tuyến
đạo hàm
toán sơ cấp
hiểu toán học
Top