menu

Hiểu ý tưởng giới hạn trong Toán học (phần 2)

Đăng lúc 05/08/2017, trong chuyên mục Toán sơ cấp

Phần hai tiếp tục giải đáp những thắc mắc còn dang dở ở phần 1 và nói thêm về sự liên quan giữa ý tưởng giới hạn và các định nghĩa trong SGK chúng ta được học cũng như các ứng dụng thực tế của nó.

Tóm tắt phần 1

kỳ trước, tôi đã giải thích những vấn đề sau cho anh bạn “tò mò” của tôi.

  1. Lịch sử hình thành giới hạn từ những nghịch lý của Zeno đến định nghĩa đầy đủ của giới hạn dưới dạng $\varepsilon-\delta$ của Bolzano & Weierstrass.
  2. Khi nói về giới hạn, bạn phải luôn nhớ chữ “tiến về”. Khi $x$ tiến về $x_0$ thì $f(x)$ tiến về $L$ chứ không phải $f(x)$ bằng $L$.
  3. Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn rằng $f(x)$ sẽ tiến về đâu nếu $x$ tiến về đâu đó.

OK, nào anh bạn của tôi, chúng ta tiếp tục chuyện trò nào. Anh còn thắc mắc nào khác không?

Ý tưởng so với định nghĩa trong SGK

help Có chứ anh, tôi hỏi tiếp nhé. Tại sao cái tôi học nó có vẻ chả liên quan gì đến ý tưởng ở trên này hết vậy?

Có hai lý do khiến bạn thấy điều bạn học chả liên quan gì.

  • Thứ nhất, các ý tưởng phát biểu bằng lời đều được “dịch” sang ngôn ngữ của biểu thức, con số và ký hiệu trong Toán học. Rồi khi đọc nó, người ta lại đọc sang một kiểu khác. Nếu xét về mặt ý nghĩa bên trong thì như nhau nhưng người ta không chịu hiểu nó theo ý tưởng ban đầu mà chỉ hiểu theo cái mà người ta nghe. Ví dụ như $3-(-4)=3+4$, quy tắc “trừ của trừ là cộng” là cách người ta “đọc” các ký hiệu toán học nhưng ý nghĩa thực sự để ra cái “$-(-)$” ấy lại khác, dù cả hai cái đều cho ra cùng một kết quả. Đọc bài Hiểu về phép trừ và dấu trừ để biết thêm nhé. Ngôn ngữ thực tế đã bị dịch sang ngôn ngữ toán học
  • Thứ hai là do các nhà viết sách Việt Nam đã “đơn giản hóa” định nghĩa ký hiệu một lần nữa để cho học sinh bớt phiền phức. Cái này hiểu nôm na giống như quyển Nhà Giả Kim của Paulo Cohelo. Bản gốc là tiếng Brasil (một biến thể của tiếng Bồ Đào Nha) nhưng khi dịch ra tiếng Việt lại dựa trên phiên bản tiếng Đức của nó. Dù đa phần chi tiết đều không sai nhưng khiến người đọc lệ thuộc vào bản tiếng Việt mà không hề biết gì về bản gốc tiếng Brasil của nó. Giới hạn được định nghĩa trong SGK cũng vậy đấy!

help Vậy anh có thể cho tôi thấy các khái niệm trong SGK cũng trùng với ý tưởng anh đã nói ở phần trước không?

Trước khi trả lời câu hỏi này, ta hãy cùng nhìn lại định nghĩa trong SGK đã (nói thật, tôi rất ghét phải đưa nó ra, rờm rà và không đúng mục đích bài viết này - bài viết chỉ nói về ý tưởng). Có rất nhiều định nghĩa được nêu ra trong SGK

Làm sao có thể vừa dạy bạn hiểu bản chất của giới hạn, vừa giúp bạn có thể dễ dàng tính các giới hạn chỉ trong vòng 45 phút? Thầy cô bắt buộc phải tìm cách khác! Cách làm cho bạn phải ghét Toán học!

  • Định nghĩa giới hạn của một dãy số.
  • Định nghĩa giới hạn tới vô cực của dãy.
  • Định nghĩa giới hạn của một hàm số tại một điểm.
  • Định nghĩa giới hạn tới vô cực của một hàm số.
  • Định nghĩa giới hạn một phía.

Quá trời định nghĩa và thầy cô của bạn thường cho bạn cưỡi ngựa xem hoa để đi ngay vào học “các quy tắc tính” là chính. Không thể trách họ khi họ chỉ có 45 phút để dạy bạn hết các định nghĩa này kèm theo các bài tập áp dụng! Ở đây tôi sẽ tập trung nói về ba định nghĩa thôi, cốt yếu để bạn thấy rằng những cái người ta đưa ra không phải là vô lý.

Định nghĩa 1 (Giới hạn của dãy số)

Ta nói dãy số $u_n$ có giới hạn là $a$ khi $n$ dần tới vô cực, nếu $\vert u_n-a\vert$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=a$ hay $u_n \to a$ khi $n\to \infty$

Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại một điểm)

Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K\backslash \{ x_0 \}$. Ta nói hàm số $y=f(x)$ có giới hạn là $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $x_n$ bất kỳ, $x_n \in K\backslash \{ x_0 \}$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n)\to L$.

Ký hiệu: $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to x_0$.

help Có vẻ như định nghĩa giới hạn của hàm số là dựa vào định nghĩa của dãy số phải không anh?

Bạn nhận xét đúng rồi đấy. Có hai cách định nghĩa khác nhau cho giới hạn hàm số tại một điểm (hoặc giới hạn của hàm số tới vô cực, ta gọi chung là giới hạn hàm số nhé). Cách thứ nhất là định nghĩa thông qua hai đại lượng $\varepsilon-\delta$ như những gì mà Bolzano và Weierstrass đã làm. Cách thứ hai là định nghĩa thông qua dãy số, cái này do nhà Toán học Heine nêu lên.

Để cho việc định nghĩa bớt rờm rà và tránh đi việc học sinh phải tiếp nhận một cách định nghĩa “khác”, những người soạn SGK đã sử dụng cách của Heine (nghĩa là thông qua dãy số) để định nghĩa giới hạn hàm số. Nó giúp cho học sinh có cảm giác “à, cái này cũng tương tự cái trước đó mình học”. Tuy nhiên, đó chỉ là cảm giác tạm chấp nhận nhưng không giúp nhiều trong việc hình thành ý tưởng giới hạn cho học sinh.

Định nghĩa 3 (Giới hạn của hàm số tại một điểm)

Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y=f(x)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K\backslash \{ x_0 \}$. Ta nói hàm số $y=f(x)$ có giới hạn là $L$ nếu với mỗi $\varepsilon >0$, tồn tại một số $\delta>0$ sao cho khi $\vert x-x_0 \vert<\delta$ thì $\vert f(x)-L \vert< \varepsilon, \forall x\in K\backslash \{ x_0 \}$.

Khi lên đại học hoặc học sâu hơn thì người ta chuộng cách định nghĩa gốc theo $\varepsilon-\delta$ hơn vì nó tự nhiên hơn. Khi đó, định nghĩa của Heine người ta thường để nó vào một định lý hoặc nhận xét. Nếu bạn thích, bạn có thể xem chứng minh sự tương đương của hai định nghĩa trên như dưới đây (không khuyến khích lắm vì nó hơi nặng về mặt toán học)

  • face Nhấn vào đây để xem tại sao định nghĩa 2định nghĩa 3 tương đương

    Thứ nhất, tôi sẽ chứng minh Định nghĩa 2 $\Rightarrow$ Định nghĩa 3. Ta dùng phương pháp phản chứng.

    Giả sử $f(x)\to L$ theo ĐN2 nhưng lại không thỏa mãn ĐN3. Điều đó có nghĩa là tồn tại một số $\varepsilon >0$ sao cho $\forall \delta>0$, $\exists x\in K\backslash \{ x_0 \}$ thỏa $\vert x-x_0 \vert < \delta$ và $\vert f(x) - L \vert \ge \varepsilon$.

    Với $\varepsilon$ ở trên, tôi xét dãy các số $\{ \delta_n \}$ thỏa mãn $\delta_n = \frac{1}{n},\forall n\in \mathbb{N}$. Ứng với mỗi $\delta_n$, tôi xây dựng dãy $x_n\in K\backslash \{ x_0 \}$ thỏa mãn $\vert x_n-x_0 \vert < \delta_n=\frac{1}{n}$ và $\vert f(x_n) - L \vert \ge \varepsilon$.

    Từ đó ta có ngay dãy $x_n \to x_0$ khi $n\to \infty$. Vì ĐN2 thỏa mãn nên ta có ngay $f(x_n)\to f(x_0)$. Điều này mâu thuẫn với $\vert f(x_n) - L \vert \ge \varepsilon$ như lập luận ở trên. Vậy ta đã chứng minh xong một chiều.

    Ở chiều ngược lại, Định nghĩa 3 $\Rightarrow$ Định nghĩa 2. Xét dãy $x_n \to x_0$ khi $n\to \infty$. Ta cần chứng minh $f(x_n)\to f(x_0)$. Thật vậy, với mỗi $\varepsilon>0$, tồn tại $\delta>0$ sao cho khi $\vert x-x_0 \vert<\delta$ thì $\vert f(x)-L \vert< \varepsilon, \forall x\in K\backslash \{ x_0 \}$.

    Vì $x_n \to x_0$ nên với $\delta$ ở trên, tồn tại $N\in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n\in\mathbb{N}, n\ge N$ thì $\vert x_n - x_0 \vert < \delta$. Điều này thỏa điều kiện trước đó nên ta suy ra ngay $\vert f(x_n)-L \vert < \varepsilon$.

    Vậy ta đã chứng minh, với mỗi $\varepsilon>0$, tồn tại $N\in \mathbb{N}$ sao cho $\forall n\in\mathbb{N}, n\ge N$ thì $\vert f(x_n)-L \vert < \varepsilon$ hay ĐN2 thỏa mãn. Hoàn tất chứng minh.

Điều này có nghĩa là chỉ cần một trong hai định nghĩa trên được giải thích thì định nghĩa còn lại cũng đúng.

Bạn khó tính đến đâu?

Như tôi đã nói ở phần 1, giới hạn cho ta niềm tin vào dự đoán mà giới hạn cho ta biết. Niềm tin này được hình thành từ sự đáp ứng của tôi so với độ khó tính vô hạn của bạn.

Bạn đưa ra một ranh giới mà bạn có thể chấp nhận, tôi tìm được ngay một điểm dừng phù hợp với ranh giới ấy.

An đố Bình nhảy

Quay trở lại với ví dụ về An và Bình. An yêu cầu Bình nhảy tới rìa của bờ vực. Bình rõ ràng không thể nhảy ngay tới vị trí đó (vị trí B), tuy nhiên khả năng của cậu là hoàn toàn có thể. Nếu như Bình có thể nhảy tới vị trí khác B, cậu sẽ sống sót. Do đó, Bình nói với An rằng

Cậu rõ ràng không thể bắt tớ nhảy ngay tới B vì tớ sẽ chết, không lẽ cậu muốn tớ chết, đúng không? Tuy nhiên, để chứng minh khả năng của mình mà không bị chết, tớ có thể nhảy tới điểm gần B bao nhiêu cũng được, miễn sao không chạm vào B. Gần bao nhiêu thì tùy cậu chọn!

Sự cam kết này của Bình là điều khẳng định chắc chắn. An có thể yêu cầu khoảng cách gần B bao nhiêu cũng được, một khoảng cực kỳ nhỏ, nhỏ xíu xiu luôn, nhỏ hơn bất kỳ cái gì trên đời, nhỏ như…“đại lượng vô cùng nhỏ” nhưng vẫn đảm bảo không bị triệt tiêu (rơi ngay B). Ứng với mỗi yêu cầu khoảng cách của An, Bình cần lấy đà tương ứng để có thể nhảy tới địa điểm đó.

  • An: gần B 0.1m.
  • Bình: nếu thế thì tớ cần lấy đà tối thiểu 2m.
  • An: gần hơn nữa, 0.01m
  • Bình: OK, tớ sẽ lấy đà xa thêm chút, tối thiểu là 2.1m
  • An: gần 0.0000000…1m
  • Bình: lấy đà tối thiểu 2.1000…1m

Cứ thế, cậu bé khó tính An có yêu cầu bất cứ ranh giới nào thì Bình cũng có thể đáp ứng được. Niềm tin của An được xây dựng từ đó. An mãi mãi không biết rằng Bình sẽ nhảy được đến ngay vị trí B hay không, tuy nhiên nhu cầu vô hạn của cậu đều được đáp ứng một cách thỏa đáng.

Nhu cầu của bạn lớn đến cỡ nào?

Một tấm áp phích quảng cáo thật to được in ra và treo ở ngay giữa một quảng trường rộng lớn. Bạn tình cờ đi qua đấy, nhìn thấy tấm áp phích và khen “Sao người ta có thể in ra hình ảnh sắc nét đến như vậy nhỉ?”. Tuy nhiên, khi lại gần, bạn lại thấy nó bắt đầu bị “rổ”. Điều này cũng xuất hiện khi bạn phóng to một bức ảnh .jpg trên máy tính của mình, cho dù tấm ảnh đó được chụp bởi một máy ảnh thật xịn nhưng khi zoom đến một mức nào đó nó cũng lại xuất hiện “rổ”.

Pixel vs Bitmap Khi chưa phóng to, hình vector và bitmap trông “nét” như nhau. Mọi thứ chỉ khác khi chúng ta phóng to lên. (Nguồn hình)

Tuy có nhược điểm nhưng rõ ràng tấm áp phích vẫn rất “nét” với các tài xế đi đường chạy lướt qua ở một khoảng cách đủ để mắt các tài xế không phân biệt được các điểm rổ. Bức ảnh bạn chụp được in ra trên một khuông giấy đủ lớn phù hợp nhu cầu của bạn nhưng vẫn không khiến mắt bạn khó chịu. Đối với bạn, nhu cầu đã được đáp ứng. Bạn sẽ không phân biệt nổi một bộ phim HD 1080 và cũng bộ phim ấy với chất lượng 4K chỉ với chiếc máy tính bình dân của mình.

Nhu cầu của bạn trong cuộc sống rõ ràng là hữu hạn, đến ranh giới nhu cầu ấy, bạn sẽ không phân biệt được đâu là hữu hạn, đâu là vô hạn nữa. Toán học cũng tương tự như thế, tuy nhiên nó biết rằng bạn cần một sự chắc chắn tuyệt đối, chắc chắn đến độ bạn cũng không thể tưởng tượng nổi, nhu cầu của An có thể nhỏ vô cùng tận thì Bình cũng lại có thể đáp ứng. Đó chính là sự chắc chắn trong dự đoán của giới hạn.

Giới hạn của một dãy số

Quay trở lại với định nghĩa của giới hạn trong toán học. Tôi cố tình tách ĐN1 ra như sau

  • (1) $u_n$ sẽ tiến về $a$
  • (2) khi $n$ dần tới $\infty$
  • (3) nếu như $\vert u_n-a\vert$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
  • (4) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Và dưới đây là sự tương ứng của ý tưởng với cái định nghĩa hình thức này

  • Dự đoán: $u_n$ sẽ tiến về $a$ (1) khi $n$ dần tới $\infty$ (2)
  • Nhu cầu của bạn: $\vert u_n-a\vert$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý (3)
  • Đáp ứng của tôi: kể từ một số hạng nào đó trở đi (4)

Giới hạn của dãy số

Bạn chọn một con số vô cùng bé mà bạn nghĩ nó đủ sức làm bạn tin là gần như là $0$. Để chi? Để $\vert u_n-a \vert$ nhỏ hơn nó thì cũng được xem như là $\vert u_n-a \vert=0$ hay $u_n = a$ (cẩn thận “$=$” ở đây có nghĩa là “tiến về”). Nhưng bạn đòi hỏi là tôi phải chỉ ra cho bạn thấy được rằng phải có một phần tử nào đó để từ nó trở đi thì $u_n$ luôn thỏa. Điều này đảm bảo rằng sẽ không có một đứa $u_n$ nào đó của dãy “chơi trội”, đi lớn hơn con số mà bạn đưa ra để đánh đi niềm tin của bạn. Hãy nhớ lại ví dụ chứng minh con trai-con gái của tôi ở kỳ trước, chỉ cần chỉ ra 1 thằng trong dãy không thỏa nhu cầu thì coi như tôi là thằng nói cuội.

Giới hạn của hàm số tại một điểm

Tương tự, chúng ta xét định nghĩa hàm số tại một điểm. Như đã nói ở trên, định nghĩa trong SGK dựa trên dãy số hoàn toàn không có ý nghĩa tượng trưng thực tế, tuy nhiên nó đã được chứng minh là giống với định nghĩa theo $\varepsilon-\delta$ nên tôi sẽ giải thích ý nghĩa tượng trưng của giới hạn hàm số theo hai đại lượng này.

Tôi sẽ cố tình viết lại ĐN3 như sau

  • (1) Hàm số $y=f(x)$ có giới hạn là $L$
  • (2) nếu với mỗi $\varepsilon>0$
  • (3) tồn tại $\delta>0$ sao cho $\vert x-x_0 \vert<\delta, \forall x$ thỏa tập xác định hàm số
  • (4) thì $\vert f(x)-L \vert <\varepsilon$

Và sự tương ứng của ý tưởng giới hạn với định nghĩa trên

  • Dự đoán: $y=f(x)$ tiến về $L$ (1) khi $x$ tiến về $x_0$
  • Nhu cầu của bạn: $\vert f(x)-L \vert <\varepsilon$ (4) với mỗi $\varepsilon>0$ bất kỳ (2)
  • Đáp ứng của tôi: tồn tại $\delta>0$ sao cho $\vert x-x_0 \vert<\delta, \forall x$ thỏa TXĐ hàm số (3)

Bạn chọn một số vô cùng bé $\varepsilon>0$ mà bạn nghĩ nó đủ sức thuyết phục bạn tin rằng nó gần như là $0$. Để chi? Để khi $\vert f(x)-L \vert$ nhỏ hơn nó thì cũng được xem như là $\vert f(x)-L \vert=0$ hay $f(x)$ tiến về $L$. Nhưng bạn đòi hỏi là tôi phải chỉ ra cho bạn một vùng xung quanh $x_0$ đảm bảo rằng mọi giá trị hàm tại các điểm bên trong vùng đó đều thỏa nhu cầu của bạn, vùng ấy chính là $\vert x-x_0 \vert<\delta$. Xem hình sau để hình dung rõ hơn.

Giới hạn của dãy số

Cho dù bạn chọ vùng xung quanh $L$ nhỏ đến cỡ nào thì chỉ cần cho $x$ tiến vào vùng xung quanh $x_0$ mà tôi chỉ ra là yêu cầu của bạn sẽ thỏa. Khi vùng bạn chọn nhỏ dần, nhỏ dần đến khi nhu cầu của bạn về vùng ấy gần bằng 0 thỏa mãn thì hàm $f(x)$ khi ấy chính thức được xem như là tiến về $L$.

help OK, cảm ơn anh, giờ tôi đã hiểu ý tưởng của định nghĩa trong SGK. Chỉ còn một thắc mắc duy nhất về minh họa trực quan cho giới hạn này. Tại sao anh dám đảm bảo $f(x)$ sẽ tiến về $L$ mà không phải là một con số rất gần $L$? Ví dụ như ở phần 1, tại sao anh dám chắc hàm số $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ sẽ tiến về $4$ mà không phải là $4.0000001$ hay $3.999999$?

Lại thêm một câu hỏi hay khác nữa! Tôi hiểu vì sao bạn có thắc mắc như vậy. Đó là bởi khi bạn liệt kê các kết quả khi $x$ tiến về $2$ với nhiều giá trị để tìm dự đoán thì với sức lực hạn hẹp của con người, bạn không thể thử vô hạn lần được. Giả sử bạn thử đến lần thứ 5 với con số $1.99999$ (5 con số 9) để tìm được giá trị $f(x)$ tương ứng là $3.99999$ (5 con số 9). Rồi bạn đi dự đoán $f(x)$ tiến về 4. Tuy nhiên, rủi $f(x)$ tiền về $3.999995$ thì sao?

Giới hạn về L Một trường hợp giả sử $f(x)\to 3.999995$ thay vì $f(x)\to 4$.

Tôi sẽ chứng minh cho bạn thấy điều này. Tuy nhiên, tôi nhận thấy câu hỏi này thật sự chỉ là một câu hỏi “thêm”. Do đó, không yêu cầu độc giả khác phải đọc, nếu thích, bạn khác có thể nhấn vào đọc hoặc không. Mục đích là tránh làm bài viết quá dài.

  • face Tại sao tiến về $4$ mà không phải “gần $4$”?

    Như đã nói nhiều ở trên, tôi phải đáp ứng được mọi như cầu của bạn (bạn khó tính mà^^). Giờ với dự đoán thay đổi từ $4$ sang $3.999995$. Tôi sẽ chứng minh rằng dự đoán này là sai! Hay nói khác đi, tôi sẽ chứng minh với dự đoán này, tôi không thể đáp ứng mọi nhu cầu từ bạn.

    • Dự đoán: $f(x)$ tiến về $3.999995$
    • Nhu cầu của bạn: $\varepsilon=0.000005$ để $\vert f(x)-3.999995\vert<0.000005$

    Tôi cần chỉ ra là tôi không thể chọn được một vùng lân cận nào của $2$ để giá trị của $f$ tại mọi điểm $x$ trong vùng đó thỏa nhu cầu của bạn. Hay nói khác đi, nếu tôi có thể tìm được một điểm $x$ trong một vùng lân cận bất kỳ xung quanh $2$ sao cho $\vert f(x)-3.999995 \vert \ge 0.000005$ là được.

    Xét một vùng lân cận bất kỳ xung quanh $2$ là $(2-\delta,2+\delta)$ với $\delta>0$. Tôi chọn $x=2+\frac{\delta}{2}$ thì khi đó $x\in (2-\delta,2+\delta)$ nhưng ta lại có

    Để dễ hình dung, bạn hãy xem hình minh họa bên dưới

    Minh họa dự đoán không thể là 3.999995

    Ở trên dự đoán của bạn là $3.99995$, giả sử dự đoán của bạn là $L^{\ast}$ cách dự đoán $4$ một khoảng $\vert 4-L^{\ast}\vert$. Khi ấy nếu nhu cầu của bạn cũng chính là khoảng này, $\varepsilon = \vert 4-L^{\ast}\vert$ thì với một vùng lân cận bất kỳ $(2-\delta,2+\delta)$ xung quanh $2$, tôi sẽ chọn $x=2+\frac{\delta}{2}$ và chứng minh tương tự như trên.

    Bây giờ tôi sẽ chứng minh dự đoán $4$ là thỏa mọi nhu cầu của bạn. Bạn chọn một vùng bất kỳ xung quanh dự đoán này ($\varepsilon>0$ bất kỳ). Tôi cần chỉ ra tồn tại một lân cận xung quanh $2$ để mọi $x$ trong lân cận đó đều có $\vert f(x)-4\vert < \varepsilon$. Thật vậy, tôi chọn $\delta=\varepsilon$, khi đó nếu $x$ thuộc lân cận $(2-\delta,2+\delta)$ thì $x$ sẽ thỏa $\vert x-2\vert < \delta$ và

    Tôi đã chứng minh xong.

Giới hạn một phía (một bên)

help Tại sao lại có khái niệm giới hạn một bên vậy anh? Rồi khi nào thì không tồn tại giới hạn?

Tôi đã nói nhiều về cụm từ “lân cận” ở trên. Mà lân cận thì phải có đủ hai phía, lân cận bên trái của $2$ là ($2-\delta,2$), còn lân cận bên phải của nó là ($2,2+\delta$). Khi ta nói $x$ tiến về $2$ thì theo bạn chữ “tiến về” được hiểu như thế nào?

Như ví dụ đã nói ở các mục trước, ta lần lượt lấy x “tăng dần” từ 1.5 đến 1.999 rồi 1.9999, … vậy còn những giá trị “giảm dần” từ 2.5, 2.001, 2.000001,… thì sao? Khi $x$ tiến từ trái sang (ứng với lân cận trái) cho ta một dự đoán. Khi $x$ tiến từ phải sang (lân cận phải) cho ta một dự đoán khác. Nếu cả hai dự đoán đó đều như nhau thì ta có được sự tồn tại của giới hạn. Ngược lại, nếu hai dự đoán là khác nhau thì giới hạn không tồn tại. Khi ấy người ta sử dụng thuật ngữ “giới hạn một phía” để ám chỉ việc tiếp cận một phía mà thôi.

Không tồn tại giới hạn

Ví dụ thực tiễn của giới hạn

help Tôi dám cá nó chỉ có trong Toán thôi đúng không?

Không phải vậy đâu bạn ơi. Trước hết, giới hạn trong Toán là một công cụ bổ trợ cho các lý thuyết khác. Chính các lý thuyết khác này mới có ứng dụng thực tế cao. Thế nên thay vì thấy tác dụng của giới hạn trong thực tế, bạn chỉ thấy các lý thuyết kia thôi. Điều này cũng tương tự như sử sách chỉ ghi danh Ngô Quyền đánh tan quan Nam Hán trên sông Bạch Đằng nhưng thật ra một anh tên Nguyễn Văn Tèo nào đấy cũng có tham giá trận đánh đó mà bạn không biết. Khi nhắc đến tên anh ta, bạn lại bảo anh ta chả có công trạng gì.

Tôi cũng cố gắng tìm kiếm những ứng dụng thực tế của giới hạn, bên dưới là một số ứng dụng mà tôi tìm thấy, bạn xem nhé.

  • face Ứng dụng giới hạn giải thích các nghịch lý của Zeno

    Việc dùng giới hạn để giải thích nghịch lý Achille và rùa đã được nêu ra trong phần đọc thêm SGK Đại số và Giải tích lớp 11. Bạn có thể xem thêm trong đấy nhé. Tác giả quy khoảng cách giữa Achille và rùa thành một dãy số giảm dần giá trị. Sau đấy họ dùng giới hạn để chứng minh rằng tổng của dãy vô hạn ấy là một con số hữu hạn.

  • face Dự đoán dân số [nguồn]

    Nhờ vào các hàm số, chúng ta có thể mô phỏng hầu như mọi thứ từ sự phát triển của các tế bào nhỏ xíu đến số lượng các con cóc có trong sân vườn nhà bạn. Tuy nhiên thứ mà bạn muốn biết là ở tương lai rất xa kể từ bây giờ. Sau 50 năm nữa thì số lượng cóc trong vườn nhà bạn có tăng đột biến và chúng phải tìm nơi cư trú mới hay khoảng không vườn nhà bạn đã đủ cho chúng phát triển? 100 năm thì sao? 1000 năm thì sao? vô tận năm thì sao?

    Trong khi chúng ta không biết câu trả lời thì giới hạn có thể giúp chúng ta.

    Nhưng trước tiên ta cần phải biết là có một phương trình mô phỏng sự phát triển miêu tả tương tự trên, nó được gọi là logistic growth equation (tôi không biết dịch ra tiếng Việt là gì)

    Trông nó có vẻ rườm rà nhưng chúng ta vẫn thích nó vì những lợi ích mà nó có thể mang lại. Cùng tìm hiểu đôi chút những đại lượng bên trong công thức này nhé

    • $y$ là dân số của đối tượng ta cần khảo sát (ví dụ các con cóc)
    • $L$ là sức chứa $y$ (ví dụ diện tích sân vườn nhà bạn)
    • $k$ là một hằng số đặc biệt
    • $t$ là thời gian khảo sát

    Đừng bận tâm ở đâu ra phương trình phức tạp đó, hãy sử dụng nó để thấy tác dụng của giới hạn.

    Giả sử bạn đang khảo sát sự phát triển của dân số chim cánh cụt ở Nam Cực. Sau những nghiên cứu tỉ mỉ và cẩn trọng, ta có được phương trình logistic growth như sau

    Câu hỏi đặt ra không phải là dân số chim cánh cụt hiện tại là bao nhiêu hay sau 10 năm nữa. Chúng ta sẽ dễ dàng tìm được câu trả lời chỉ bằng cách thay giá trị phù hợp cho $t$. Câu hỏi đặt ra là nếu thời gian không giới hạn thì sao? Thật may mắn, khi ấy ta chỉ việc cho $t\to \infty$ và dự đoán xem $y\to ?$.

    Bằng các quy tắc tính giới hạn cơ bản, ta thấy rằng số mũ của $e$ âm và có chứa $t$ nên khi $t\to \infty$ thì đại lượng đó cũng bị triệt tiêu. Khi ấy $y\to 400000$.

    Phù, may quá! Nhờ vào giới hạn mà ta biết cho dù không giới hạn thời gian thì số lượng chim cánh cụt cũng chỉ ở vào khoảng 400000 con mà thôi chứ không có phủ đầy Trái Đất và chiếm mất suất của con người.

  • face Tìm số chữ số sau dấu phẩy của $\pi$ hay các hằng số vô tỷ đặc biệt khác

    Có rất nhiều hằn số đặc biệt trong tự nhiên và toán học, điển hình là $\pi$ và $\phi$ (tỷ lệ vàng). Bạn sẽ cười đó chỉ là các con số của các nhà toán học chứ làm gì có ứng dụng thực tiễn. Tôi không trách bạn vì bạn chưa đọc bài viết sắp tới của tôi viết về chúng.

    Việc xác định được càng chính xác các chữ số sau dấu phẩy của chúng là rất cần thiết và giới hạn là một trong những công cụ hỗ trợ ta điều đấy.

Giới hạn là một công cụ để định nghĩa đạo hàm và rất nhiều khái niệm khác trong calculus và giải tích. Chúng mới thật sự có sức mạnh ứng dụng thực tiễn. Bạn sẽ thấy lại bóng dáng của giới hạn ở những bài tiếp theo trên Tôi Tự Học.

Kết

Thật sự để một em học sinh bình thường (hoặc đang ghét toán, kém toán) đọc bài viết này là một sai lầm vì sẽ làm em “thêm rối”. Tuy nhiên nó sẽ giúp sức rất nhiều cho những đối tượng kiên nhẫn hơn và có đầu óc tư duy tốt hơn để họ có ý tưởng nhiều hơn, biết cách vận dụng hơn khi giải thích khái niệm giới hạn cho những học sinh khác.

Nếu có một video nói về những điều này và cũng với những ý tưởng như thế này thì nó chắc chắn sẽ dễ tiếp nhận hơn rất nhiều so với những dòng chữ khô khan này.

Hy vọng một phần nào đó tôi đã giúp bạn đọc có được sợi dây liên kết giữa khái niệm trừu tượng trong SGK về giới hạn và ý tưởng hình thành nó.

Hãy nhớ, giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn về giá trị hàm số khi biến tiếp cận một đại lượng nào đó.

Tài liệu tham khảo

Bạn có thể đọc thêm những bài viết khác nói về giới hạn ở danh sách bên dưới (đa phần là tiếng Anh)

giới hạn
calculus
toán sơ cấp
giải tích
toán cao cấp
hiểu toán học
Top