menu

Hiểu ý tưởng giới hạn trong Toán học (phần 1)

Đăng lúc 04/08/2017, trong chuyên mục Toán sơ cấp

Bài viết là loạt các câu hỏi-đáp để phần nào đó minh họa trực quan khái niệm giới hạn trong Toán học. Ở phần này tôi sẽ nói về lịch sử và ý tưởng chung của giới hạn.

Giới hạn là ác mộng

Một trong những điều khó chịu trong việc học Toán chính là “sự chấp nhận”. Khi học giới hạn, bạn phải chấp nhận quá nhiều thứ, phải nhớ quá nhiều quy tắc và công thức. Có lúc thầy cô bảo bạn rằng “Cho $x$ tiến về $x_0$ nhưng không được bằng để thế vô rút gọn”. Sau khi rút gọn, họ lại bảo bạn “OK, bây giờ các em thay $x=x_0$ vào để tìm ra kết quả”. Thật kinh khủng và hỗn loạn, lúc thì bằng, lúc thì không bằng!!!

Tuy nhiên, bạn đừng có trách quá nhiều thầy cô của bạn, ngay cả nhà Toán học thiên tài người Pháp Pierre de Fermat cũng đã áp dụng cách thức tương tự nhưng cũng không giải thích được nguyên do, ông thậm chí còn nói rằng “Hiếm có phương pháp nào tổng quát hơn!1

Giới hạn ra đời như thế nào?

help Giới hạn do mấy nhà Toán học tự chế ra phải không anh?

Nếu bạn hứng thú với lịch sử, hãy đọc bài viết chi tiết này về quá trình hình thành khái niệm giới hạn, còn không hãy đọc đoạn tóm tắt bên dưới.

Nhà hiền triết Hy Lạp Zeno xứ Elea nảy ra một số nghịch lý mà ông không thể giải nổi, một vài trong số chúng được giải sau đó bởi AristotleArchimedes, cũng là các nhà hiền triết thời cổ đại, nhưng phương pháp được sử dụng là các chuỗi vô hạn chứ không phải là giới hạn.

Cùng thời kỳ của Zeno, xuất phát từ việc tìm độ lớn của đường chéo một hình vuông cạnh là 1, một ý tưởng về đại lượng nhỏ hơn bất cứ thứ gì ra đời bởi Hippasus nhưng tiếc thay nó đi trước thời đại quá sớm và gây ra cái chết thương tâm cho Hippasus, đại lượng này là vô cùng nhỏ (infinitesimal). Tuy nhiên, ý tưởng này vẫn tiếp tục manh nha và phát triển dù rất lâu sau đó.

Lược sử hình thành giới hạn

Đến cuối những năm 1620s, nhà toán học người Pháp, Pierre de Fermat đã tái sử dụng lại ý tưởng vô cùng nhỏ này để giải quyết các vấn đề về tìm cực trị và hệ số góc tiếp tuyến đường cong. Cách mà Fermat áp dụng tuy còn mơ hồ về đại lượng vô cùng nhỏ nhưng nó là tiền đề quan trọng để NewtonLeibniz hình thành các ý tưởng cơ bản về giới hạn và định nghĩa $\varepsilon-\delta$ của nó. Cuối cùng, định nghĩa giới hạn cũng ra đời một cách đầy đủ và trọn vẹn nhờ vào công sức của các nhà toán học Cauchy, BolzanoWeierstrass.

Có thể thấy, “cầu nối” và cũng là “động cơ” của việc hình thành ý tưởng và khái niệm giới hạn chính là các đại lượng vô cùng nhỏ. Rõ ràng chúng không phải là thứ “từ trên trời rơi xuống”, các nhà toán học cũng không quá rảnh rỗi để nghĩ ra một thứ không xuất phát từ nhu cầu thực tế của mấy ổng (Fermat cần đại lượng vô cùng nhỏ vì ổng muốn tìm hệ số góc của tiếp tuyến, Newton cần vì ổng muốn biết vận tốc tức thời tại một điểm,…)

Tuy nhiên, đó là động cơ của các thiên tài, còn chúng ta? Những người bình thường (hoặc sắp trở thành thiên tài), chúng ta tiếp nhận khái niệm giới hạn ấy như thế nào? Tôi sẽ trả lời ở những câu hỏi tiếp theo nhé!

Ý nghĩa trực quan về giới hạn

help OK, vậy tôi hiểu nó ra đời như thế nào rồi nhưng thực sự nó là gì? Tôi không tưởng tượng ra nổi giới hạn là gì!

Đầu tiên tôi muốn khẳng định với bạn, giới hạn là một dự đoán.

Ví dụ với hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$, liệu ta có thể biết giá trị của nó tại $x=2$ được hay không? Rõ ràng câu trả lời là không vì sau khi thế $x=2$ vào, ta sẽ được dạng $\frac{0}{0}$, chả ra kết quả gì cả vì $0$ chia $0$ có thể ra mọi thứ.

Tuy nhiên, đổi một tí ở câu hỏi, $x$ không cần “$=2$” nữa, mà nó “rất gần” với $2$ thì sao? Xem bảng bên dưới nhé

Bảng giá trị

Từ bảng trên, tôi “dự đoán” $f(x)$ sẽ tiến về $4$ nếu $x$ tiến về $2$. À há, ta không thể biết giá trị hàm tại $x=2$ nhưng ta có thể dự đoán giá trị hàm tiến về $4$ nếu như $x$ tiến về $2$. Các nhà toán học ký hiệu cho câu dài thòong lòong đó bởi ký hiệu ngắn gọn

Đọc là “giới hạn của hàm số $f(x)$ khi $x$ tiến về $2$ là $4$”. Bạn đừng có nhầm lẫn dấu “$=$” trong biểu thức trên, đáng lý ra người ta phải ghi là

thì mới phải, tuy nhiên, nhờ có chữ $\lim$ nên ta có thể tạm quên đi thiếu sót này. Bạn sẽ thấy rõ nếu như tôi xét hàm số

Sự khác biệt giữa hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ được thể hiện trong hình bên dưới

Hai hàm số f và g

Giá trị của cả hai hàm số $y=f(x)$ (bên trái) và $y=g(x)$ (bên phải) đều tiến về $4$ khi $x$ tiến về $2$ nhưng trong khi $f(2)$ không xác định thì $g(2)$ lại bằng $5$ (khác xa $4$). Do đó, rõ ràng “dự đoán” mà giới hạn cho chúng ta biết không chỉ đơn giản là “thế vào rồi ra”. Ví dụ này cũng cho ta thấy rõ sự khác biệt giữa “tiến về” và “bằng”.

Sở dĩ người ta dùng từ “tiến về” (to) thay vì “bằng” (equals) là do có những thứ ta không thể nào tiếp cận được, điển hình trong số chúng chính là đại lượng trừu tượng “vô cùng” (ký hiệu $\infty$). Ta chỉ có thể nói “$x$ tiến về $\infty$” chứ không thể nói “$x$ bằng $\infty$” được! Mãi mãi $x$ sẽ không bao giờ có thể chạm được $\infty$, chắc chắn là thế nhưng ta có thể dự đoán được rằng nếu nó càng ngày càng tiến về với $\infty$ thì giá trị của hàm số $f(x)$ khi ấy sẽ càng tiến về đâu. Ví dụ hàm số $h(x)=\frac{1}{x}$ sẽ tiến về $0$ nếu như $x$ tiến về $\infty$. Tôi sẽ nói về nó ở các câu hỏi sau.

Nhớ nhé, $f$ tiến về chứ không phải bằng!

help Tôi có hai thắc mắc. Thứ nhất, “$4$” chỉ là dự đoán của anh mà thôi, anh chỉ thử ở vài giá trị của $x$, ai dám đảm bảo là lấy những $x$ gần hơn thì nó sẽ gần $4$ hơn? Thứ hai, không lẽ mỗi lần tôi muốn tìm giới hạn của một hàm, tôi lại phải lập bảng để tính thật nhiều giá trị vậy sao?

Câu hỏi thứ nhất: OK, giả sử bạn đang đứng ở giá trị $x=x_1$ đủ gần $2$ và $f(x_1)$ cũng gần $4$ thỏa yêu cầu của bạn. Giờ theo như câu hỏi của bạn, tôi chọn $x_2$ tiến gần $2$ hơn $x_1$, tức là $x_1<x_2<2$ thì tôi phải đảm bảo $f(x_2)$ cũng sẽ tiến gần $4$ hơn $f(x_1)$. Nói cách khác, tôi phải chứng minh $f(x_1)<f(x_2)<4$.

Điều này không khó. Thật vậy, xét hiệu

Câu hỏi thứ hai, bạn không cần phải (và không nên) lúc nào cũng lấy giá trị của $x$ thật nhiều để tìm giới hạn. Trở lại ví dụ trên, để tìm giới hạn của $f(x)$, đầu tiên bạn chia $x^2-4$ cho $x-2$ để ra $x+2$ rồi sau đó bạn thế $x=2$ vào để ra $4$. Có những quy tắc giúp cho ta tìm giới hạn thật nhanh. Nói về quy tắc thì tôi nghĩ bạn biết còn nhiều hơn cả tôi nữa.

help Thật ra anh nói đúng, ở trường tôi chỉ toàn học các quy tắc tính giới hạn thôi nhưng nói thiệt tôi rất khó hiểu, ví dụ ở đâu chui ra cái quy tắc “chia rồi thế” đó vậy? Nó ăn nhập gì với cái ý tưởng “tiến về” anh đã nói ở trên?

Uhm, tôi hiểu sự khó chịu của bạn. Hỏi bạn nha, từ $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ để ra $x+2$, có phải bạn chia cho $x-2$ đúng hem? Nếu như tại $x=2$ thì làm sao mà bạn chia được? Ai cho phép bạn chia cho $0$? Tuy nhiên, ở đây bạn chỉ xét “$x$ tiến về $2$” mà thôi. Tiến về chứ không có bằng, hay nói khác đi $x\ne 2$. Khi ấy bạn chia cho $x-2$ là được phép!

Hãy nhớ trong đầu mỗi khi bạn làm các phép toán tìm giới hạn, $x$ chỉ tiến về mà thôi. Bây giờ, sau khi bạn đã có $x+2$ rồi. Cũng lại câu hỏi $x+2$ tiến về bao nhiêu nếu $x$ tiến về $2$? Nếu như lúc nãy, khi hàm số $f(x)$ vẫn còn nguyên dạng $\frac{x^2-4}{x-2}$, khi hỏi câu tương tự, bạn sẽ không thể “thế vào” thì bây giờ, hàm số $f(x)$ đã trở thành $x+2$, bạn đã có thể thoải mái thế vào rồi đấy.

Bạn đừng hiểu nhầm, bạn đang thế vào để trả lời cho câu hỏi $f(x)$ tiến về đâu chứ không phải là $f(x)$ bằng bao nhiêu!

help Anh có thể ví dụ thực tế hơn về điểm “thế vào” này không?

OK, để tôi kể bạn nghe một câu chuyện. An và Bình cùng chơi một trò chơi cực kỳ nguy hiểm. Phía trước hai cậu là một vực thẳm không đáy, nếu rớt xuống thì chỉ có đường chết. An đố Bình có thể nhảy từ vị trí đang đứng tới được vực thẳm.

An đố Bình nhảy

Bình hoàn toán có thể nhảy được, tuy nhiên cậu không thể nhảy một mạch tới vực được vì như thế sẽ làm cậu mất mạng. Thay vào đó, cậu bảo với An rằng “Tớ có thể nhảy được, tuy nhiên không thể nhảy ngay xuống vực được!”

Lúc này việc Bình nhảy xuống vực giống như cho $x=2$ trong khi $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ vậy đó, sẽ xảy ra tình trạng $\frac{0}{0}$ rất nguy hiểm!

Tuy nhiên, nếu An làm cách nào đó, có thể bắt một câu cầu ngang vực để khi Bình nhảy tới không bị rớt nữa thì Bình sẽ nhảy thẳng tới vực và chứng minh cho An thấy là mình không nói dối.

Có thêm cây cầu

Việc “bắt một cây cầu” nó giống với việc biến $\frac{x^2-4}{x-2}$ thành $x+2$ vậy đó. còn việc “nhảy thẳng tới B” nó cũng giống việc thay trực tiếp $x=2$ vào $x+2$ vậy! Ta sẽ còn quay lại câu chuyện giữa An và Bình để minh họa cho định nghĩa giới hạn.

help Tôi hiểu rồi. Tuy nhiên anh chơi khôn quá, lấy ví dụ đơn giản quá trời, rủi có những hàm số phức tạp hơn thì sao? Tôi tin nếu anh lại dùng các quy tắc giới hạn để “dự đoán” kết quá. Tuy nhiên, “dự đoán” thì có thể đúng mà cũng có thể sai. Làm sao anh biết dự đoán của anh có sai hay không? Nếu nó sai thì chả lẽ tôi phải học cái thứ không chắc chắn này à?

Quá hay, một câu hỏi quá hay. Dự đoán của giới hạn trong trường hợp này là một dự đoán chắc chắn. Chúng ta không thể chứng minh nó đúng nhưng bạn cũng không thể chứng minh nó sai!

Nói về việc chứng minh đúng và sai, tôi có một nhận xét thế này. Nếu muốn chứng minh một điều là đúng thì tôi phải chứng minh cho “tất cả các trường hợp” liên quan đến điều ấy là đúng. Tuy nhiên để chứng minh rằng nó sai, tôi chỉ cần đưa ra một trường hợp duy nhất không thỏa là được. Ví dụ, tôi nói rằng “Lớp kia toàn là con trai”. Để chứng minh nó đúng, tôi phải chứng minh tất cả các thành viên của lớp ấy đều là con trai. Tuy nhiên bạn chỉ cần chỉ ra một đứa trong số ấy là con gái thì ngay lập tức điều tôi đã nói là sai.

Ở đây, dự đoán của giới hạn cũng giống vậy. Bạn không thể chứng minh nó sai có nghĩa là khi tôi nói $f(x)$ tiến về $L$ thì bạn không thể chỉ ra được trường hợp nào khác để $f(x)$ tiến về một con số khác $L$.

Giới hạn cho ta niềm tin vào một dự đoán. Cho đến khi bạn không thể chứng minh là tôi sai thì điều tôi nói vẫn đang hữu dụng!

help Niềm tin ư? Nghe có vẻ chả giống Toán học gì, anh có thể cho một ví dụ khác làm rõ hơn điểm này không?

OK, một ví dụ điển hình nhất chính là con số bí ẩn nhất trong lịch sử nhân loại - số pi $\pi$. Bạn sẽ chẳng bao giờ biết được nó chính xác là gì, con người ta chỉ cố gắng biết được càng nhiều càng tốt số lượng chữ số sau dấu phẩy của số pi chứ chả có ai dám mạnh miệng bảo rằng, “số $pi$ chính là…” Không ai dám ghi “$\pi=$” mà chỉ dám ghi “$\pi \approx$”.

help Số $\pi$ thì có liên quan gì giới hạn?

Có đấy bạn ạ. Người ta đã tìm được rất nhiều cách biểu diễn số $\pi$ theo giới hạn. Dưới đây là một ví dụ,

Nếu bạn lấy $n$ càng lớn, bạn sẽ càng có được số chữ số chính xác sau dấu phẩy của số $\pi$. Tuy nhiên, mãi mãi bạn vẫn không thể nào tiếp cận được nó. Do đó ta cần phải có niềm tin.

Kết cho phần 1

phần tiếp theo, tôi sẽ

  • Gợi mở tại sao SGK lại nói rất khác ý tưởng tôi đã nói ở trên và tôi sẽ giải thích trực quan sự liên hệ giữa ý tưởng và những gì SGK nói.
  • Tôi sẽ nói rõ chắc chắn của dự đoán mà giới hạn cho chúng ta biết là gì.
  • Những ứng dụng thực tế của giới hạn.

Nói thật, kể từ bài viết Lược sử hình thành khái niệm giới hạn, tôi đã có đến 3 phiên bản khác nhau của bài này. Ý tưởng thì có đó, hiểu đó nhưng để viết thì thật không dễ dàng gì. Hy vọng cách viết này sẽ phù hợp và chờ sự đóng góp ý kiến từ các bạn.

Tài liệu tham khảo

  1. Victor J. Katz. A history of mathematics. An introduction. 3rd edition. Addison-Wesley. 

giới hạn
calculus
toán sơ cấp
giải tích
toán cao cấp
hiểu toán học
Top