menu

Hiểu ý nghĩa thực tế của phương trình Navier Stokes

Đăng lúc 25/02/2015, trong chuyên mục Toán cao cấp

Phương trình Navier-Stokes, được đặt tên theo Claude-Louis NavierGeorge Gabriel Stokes, miêu tả dòng chảy của các chất lỏng và khí (gọi chung là chất lưu). Bài viết trích dịch từ giáo trình dạy môn học cùng tên của Steven Dobek.

Đôi dòng mở đầu

Đã từ lâu bạn tự hỏi các hiện tượng tự nhiên gắn liền với Toán học ở chỗ nào? Phương trình N-S này là một trong những câu trả lời dành cho bạn. Phương trình này miêu tả chuyển động của dòng chảy chất lỏng và khí trong tự nhiên, thường được nhắc tới nhiều trong động lực học chất lưu (Fluid Dynamics). Dựa vào phương trình này, tuỳ vào từng trường hợp cụ thể trong thực tế, ta sẽ có những giá trị tương ứng cho các biến trong phương trình. Sau đó dùng phương pháp số kết hợp lập trình dựa trên phương trình này, ta sẽ có những hình vẽ mô phỏng chuyển động của chất lưu. Từ đó ta có thể dự đoán, thay đổi giá trị và quan sát chỉ đơn giản bằng phần mềm mà không cần thực nghiệm thực tế.

Có thể liệt kê một số hiện tượng/sự vật thực tế có sự hiện diện của phương trình N-S như:

  • Nhiệt lượng lưu thông khi một chiếc máy bay đang bay
  • Dòng suối đang chảy qua những cục đá
  • Bạn rót nước vào một chiếc bình và quan sát chuyển động của dòng chảy
  • Luồng khí di chuyển trong một số sự vật hiện tượng

Bạn có thể xem hai video mô phỏng phương trình N-S như bên dưới

Tuy nhiên một câu hỏi lớn xuất hiện, làm sao hai nhà Vật Lý học trên lại có thể “biên dịch” một hiện tượng phức tạp như thế chỉ nhờ một phương trình ngắn gọn? Các thành phần trong phương trình có ý nghĩa gì trong thực tế? Ta bỏ chúng đi được không? Bài viết này sẽ cố gắng trả lời các câu hỏi đó.

Bài viết sẽ tiếp tục đi vào phần chính của loạt bài. Ở phần này sẽ nói đôi phần thiên về mặt Toán học lý thuyết làm bước đà chuẩn bị cho việc giải thích ý nghĩa thực tế của phương trình N-S.

Nội dung chính của lý thuyết Toán học cần biết để đi vào hiểu rõ hơn về phương trình NS chính là trường vector (vector field). Một trường vector được hiểu là một ánh xạ từ mỗi điểm trong không gian thực 2 hoặc 3 chiều vào một vector. Mỗi vector này có thể xem là tích của một vector đơn vị có hướng (directional unit vector) với một đại lượng vô hướng (scalar). Trong động lực học chất lưu (fluid dynamic), giá trị của một trường vector tại một điểm có thể được xem là vận tốc tại điểm đó (velocity). Trường vector rất cần thiết cho động lực học chất lưu vì nhờ nó mà ta có thể hình tượng hóa được đường đi của chất lưu tại bất kỳ điểm nào.

Dòng chảy chất lưu bằng mũi tên

Ví dụ như hình trên (nguồn), bạn có 1 bể nước hình chữ nhật, dưới con mắt toán học, thay vì nhìn bể là 1 dạng liên tục của các điểm (các điểm khít nhau vô tận), bạn có thể làm “thưa” chúng đi. Tại mỗi điểm đó, ta sẽ thấy các trường vector được biểu diễn bởi những mũi tên, đó cũng là hướng di chuyển của dòng chảy tại điểm đó. Sau đó, ta tăng dần mật độ các điểm này lên đến vô tận, hay nói cách khác, ta sẽ dần tiến về thực tế của cái bể hình chữ nhật này.

Phép tính vector

Phép tính vector (Vector calculus) là một nhánh của toán học bao gồm các phép tính vi phân (differentiation) và tích phân (integration) trên trường vector. Trong mục này, tôi sẽ giới thiệu một chút về lĩnh vực này. Đầu tiên tôi bắt đầu với một toán tử (operator) rất quan trọng trong toán học, đó là del (ký hiệu là $\nabla$). Del được định nghĩa là đạo hàm riêng của một vector.

trong đó $i,j,k$ là vector đơn vị trong hệ trục tọa độ thực 3 chiều.

Gradient

Với toán tử này, đầu tiên ta phải kể đến phép toán gradient, đây là phép toán cho biết tốc độ và hướng thay đổi của một đại lượng vô hướng (scalar field) tại mọi điểm. Gradient biến một đại lượng vô hướng thành một đại lượng vector (có hướng).

  • highlight Xem ví dụ

    Ví dụ như nếu $f(x,y,z) = x^3+2y^2+z$ thì $\nabla f = \left( 3x^2, 4y, 1 \right)$

    Hiểu kết quả trên như thế nào? Ví dụ ta xét tại điểm $(1,1,0)$ thì tại đấy có 1 vector chỉ hướng và vận tốc của “dòng chảy” $f$ là $\nabla f (1,1,0) = (3\times 1^2,4\times 1,1) = (3,4,1)$. Lưu ý rằng gradient chỉ tác động trên một trường vô hướng, hay $\nabla$(đại lượng vô hướng)

Curl

Tiếp theo ta xét đến curl, phép toán miêu tả khuynh hướng xoay quanh một điểm của một trường vector. Curl sẽ biến một đại lượng vector thành một đại lượng vector khác. Với một vector F, ta định nghĩa

Giả sử vector $F = (F_1,F_2,F_3) = F_1i + F_2j +F_3k$, thì khi đó $\operatorname{curl}(F)$ sẽ được ký hiệu hình thức dưới dạng một định thức

  • highlight Xem ví dụ

    Ví dụ cụ thể, $F=(F_1,F_2,F_3) = (x,-xy,z^2)$, sử dụng định thức trên ta có

    Hiểu kết quả trên như thế nào? Ví dụ ta xét tại điểm $(1,1,0)$ thì tại đấy có 1 vector chỉ độ xoáy của “dòng chảy” $F$ là $\nabla \times F (1,1,0) = (0,0,-1)$.

    Lưu ý rằng curl chỉ tác động trên một trường vector, hay $\nabla\times$ (đại lượng vector)

Divergence

Thứ ba, ta sẽ xét đến phép toán divergence, đây là phép toán cho biết độ lớn một nguồn phát (source) hoặc một nguồn thu (sink) tại một điểm trong trường vector. Nói như thế hơi khó hiểu, bạn có thể tưởng tượng nguồn phát (source) là nơi các dòng chảy đi ra (thượng nguồn). Còn nguồn thu (sink) giống như một hố sâu thăm thẳm hút các dòng chảy vào.

Divergence biến một đại lượng vector thành một đại lượng vô hướng. Với vector $F$, ta định nghĩa divergence bởi ký hiệu sau

Vì kết quả của divergence là một đại lượng vô hướng (hay nói nôm na nó là một giá trị cụ thể) thì nó chỉ có một trong hai giá trị hoặc là dương hoặc là âm. Nếu tại bất kỳ điểm nào đó trong không gian, $\operatorname{div}(F)$ cho giá trị dương, ta biết rằng tại điểm đó, dòng chảy sẽ không ngừng tuôn ra với mức độ là giá trị của $\vert\operatorname{div}(F)\vert$ (có một outflow tại điểm đó). Ngược lại, nếu giá trị là âm, thì dòng chảy sẽ bị hút vào với cường độ là $\vert\operatorname{div}(F)\vert$ (có một inflow tại điểm đó).

  • highlight Xem ví dụ

    Ví dụ như hình trên đây, nếu $F=(x,y)$ (hình góc trên bên trái) ta tính được $\operatorname{div}(F) = 1+1=2>0$ nên các dòng chảy không ngừng tuôn ra (xem hướng mũi tên). Ngược lại, nếu $F=(y,x)$ (hình góc dưới bên trái) ta tính được $\operatorname{div}(F)=0$ hay không có inflow hay outflow nào tại mọi điểm, cái hình cũng chỉ cho ta thấy các dòng chảy không trào ra hay bị hút vào tại đâu cả.

Laplacian

Phép toán vector cuối cùng ta cần xét đến chính là laplacian (ký hiệu $\Delta$). Phép toán này được định nghĩa là sự kết hợp giữa hai phép toán divergence và gradient. Do đó, laplacian sẽ biến một đại lượng vô hướng thành một đại lượng vô hướng khác. Với một đại lượng vô hướng f, ta định nghĩa

Ta sẽ bàn kỹ hơn ý nghĩa vật lý của phép toán này trong một bài khác gần đây. Ở bài này, bạn cũng có thể hiểu nôm na phép toán này mô tả kết hợp ý nghĩa vật lý của hai đứa gradient (hướng của dòng chảy) và divergence (nguồn thu hay phát) tại một điểm.

Vậy là xong bước chuẩn bị cần thiết, ở kỳ tiếp theo, chúng ta sẽ chính thức đi vào giải thích ý nghĩa thực tế của phương trình Navier Stokes.

Như được giới thiệu trong Bakker20121, phương trình Navier-Stokes (N-S) có thể được xem như là hệ quả của Định luật 2 Newton. Đối với các vật chất rắn (solid), định luật này được biểu diễn dưới dạng $F=ma$ trong đó lực $F$ là tích của khối lượng m của vật với gia tốc a của vật đó. Còn đối với các thể liên tục (nước, lửa, không khí,…), ta có phương trình tương ứng của Định luật 2 Newton

  • highlight Các định luật Newton về chuyển động

    Tham khảo wikipedia, ta có ý tưởng cơ bản các định luật Newton về chuyển động như sau

    - Định luật 1: Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực có hợp lực bằng không thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
    - Định luật 2 : Gia tốc của một vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật, $F=ma$.
    - Định luật 3 : Trong mọi trường hợp, khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác dụng lại vật A một lực. Hai lực này có cùng giá trị, cùng độ lớn, nhưng ngược chiều.

Phương trình Navier-Stokes

  • $\rho$ : mật độ (density) của chất lưu, tương đương với khối lượng của vật trên một đơn vị thể tích.
  • $\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u}$ : gia tốc.
  • $\mathbf{u}$ : vận tốc.
  • $\nabla\cdot \sigma$ : ứng suất trượt (shear stress), lực tác dụng đồng phẳng trên các bề mặt cắt ngang. Các thành phần vector lực chạy song song với bề mặt cắt ngang.
  • $f$ : ta xem như là một lực (force) chứ không phải là một đại lượng vô hướng (scalar) hay một trường vector (vector field)

Chúng ta cũng có thể viết lại $\eqref{eqptgoc}$ dưới dạng như sau

  • $p$ : áp suất (pressure).
  • $\mu$ : độ nhớt động lực (viscosity), thước đo sự phản kháng của chất lưu chống lại tác dụng của ứng suất trượt.

Sau khi chia hai vế của $\eqref{eqptVietlai}$ cho $\rho$ và trừ đi $\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u}$, ta có dạng truyền thống của phương trình N-S như sau

Ý nghĩa thực tế của các thành phần

Nhìn vào phương trình trên, ta thấy sự thay đổi của vận tốc $\mathbf{u}$ theo thời gian ($\dfrac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}$) phụ thuộc vào 4 thành phần dưới đây.

Thành phần 1 : $-(\mathbf{u}\cdot \nabla)\cdot \mathbf{u}$

Thành phần đầu tiên là lượng $-(\mathbf{u}\cdot \nabla)\cdot \mathbf{u}$. Thành phần này cho thấy được làm cách nào mà divergence có thể tác động lên đại lượng vận tốc $\mathbf{u}$. Dễ hình dung nhất chính là liên tưởng đến một con sông. Nếu trên dòng chảy của dòng sông ấy có một chỗ hình giống một cái phễu, nghĩa là nó hẹp lại ở một điểm nào đó. Ta thấy rằng tốc độ dòng chảy sẽ tăng lên ở chỗ hẹp ấy và ngược lại, nếu dòng sông phân tán ra khỏi phễu theo hướng rộng ra, lượng nước sẽ tăng nhưng tốc độ dòng chảy sẽ bị giảm lại, xem thêm hình bên dưới. Đại lượng $- (\mathbf{u}\cdot \nabla)\cdot \mathbf{u}$ miêu tả cho điều ấy.

Miêu tả tác động của divergence

Miêu tả tác động của divergence

Thành phần 2: $- \dfrac{1}{\rho}\nabla p$

Thứ hai đó là lượng $- \dfrac{1}{\rho}\nabla p$. Có thể hiểu nôm na lượng này miêu tả ảnh hưởng của áp suất lên sự thay đổi của các phần tử chất lưu. Cụ thể hơn, dòng chảy có khuynh hướng đi về nơi có áp suất thấp hơn từ nơi có áp suất cao.

Để dễ hình dung, ta xét một đàn chim đang bay với nhau đóng vai là tập hợp chất lưu với các phần tử chất lưu là các chú chim. Đàn chim ấy bị tấn công bởi một con đại bàng đón vai là áp suất $\rho$. Những chú chim sẽ muốn di chuyển tản ra xa con chim đại bàng kia (tản ra khỏi nơi có áp suất cao). Nếu mật độ các chú chim bay gần nhau càng lớn, tức các chú chim càng khó bay tản ra xa nhau và ngượ lại, nếu mật độ đàn chim càng thưa, chúng càng dễ dàng thoát thân hơn khi con đại bàng tấn công.

Ảnh hưởng của áp suất lên sự thay đổi các phần tử chất lưu

Chúng ta xét thêm một ví dụ khác. Giả sử ta có một cục đất sét và một miếng gạch lót nhà. Dùng tay ấn một lực thật mạnh xuống cả hai. Với cục đất sét, mật độ thưa hơn mật độ của miếng gạch nên nó bị làm cho biếng dạng dưới tác dụng của lưc, khi ấy các phần tử tạo nên đất sét bị tản ra xa khỏi nơi ta ấn lực tay xuống. Trong khi miếng gạch mật độ quá dày đặc nên hầu như ta không thấy điều gì xảy ra cả.

Ảnh hưởng của áp suất lên sự thay đổi các phần tử chất lưu

Thành phần 3: $\mu\nabla^2 \mathbf{u}$

Bây giờ ta xét tới $\mu\nabla^2 \mathbf{u}$. Hai thành phần chính là $\mu$ và toán tử $\nabla^2$. Sẽ rất khó để hình tượng hóa các đại lượng này nhưng hãy nghĩ đến chúng như là sự khác nhau giữa các phần tử và các ông hàng xóm của nó. Ví dụ như ta so sánh giữa sirô (chất lỏng với độ nhớt cao) và nước (chất lỏng với độ nhớt bé hơn), một muỗng sirô đặc khi các phần tử di chuyển sẽ kéo các phần tử khác di chuyển theo, còn với nước thì điều này khó hơn vì độ nhớt của nó thấp hơn, xem hình dưới.

Minh họa thành phần 3

Minh họa thành phần 3

Thành phần 4: $f$

Và đại lượng cuối cùng $f$, như đã nói ở trên, nó là lực tác động lên chất lưu đang xét.

Vậy là chúng ta đã hiểu được ý nghĩa vật lý của từng thành phần trong phương trình Navier Stokes rồi đấy.

Tài liệu tham khảo

navier stokes
toán cao cấp
giải tích số
ý nghĩa thực tiễn
Top