menu

Hiểu về hệ số góc của đường thẳng

Đăng lúc 21/07/2017, trong chuyên mục Toán sơ cấp

Bài viết sẽ cho biết hệ số góc của một đường thẳng là gì cũng như các ví dụ thực tiễn liên quan đến khái niệm tưởng chừng đơn giản này.

Đây cũng là phần giúp bạn biết thêm về hệ số góc để có thể hiểu rõ hơn các chủ đề sau liên quan đến nó. Ví dụ như chủ đề về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và đạo hàm bậc nhất của hàm số đó tại một điểm.

Định nghĩa

Tên và cách định nghĩa hệ số góc của đường thẳng dựa trên góc tạo bởi đường thẳng đó với trục hoành $Ox$1.

Định nghĩa 1 (Hệ số góc của đường thẳng)

Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ với $a \ne 0$ là hệ số của góc tạo thành khi đường thẳng cắt trục hoành $x’Ox$ tại một điểm và hợp với trục hoành $x’Ox$ tạo thành một góc. Vì $a$ trong phương trình hàm số có liên quan đến góc này nên $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$.

  • Khi $a>0$ thì góc tạo thành là góc nhọn và nằm bên trái trục tung $Oy$.
  • Khi $a<0$ thì góc tạo thành là góc tù và nằm bên phải trục tung $Oy$.
  • Khi $a=0$ ta không có hệ số góc vì lúc này, đường thẳng song song với trục hoành.

Tuy nhiên, như tôi đã đề cập trong bài viết Hiểu về dấu trừ và phép trừ trong Toán học, đừng nên tin quá nhiều vào tên gọi! Hệ số góc của đường thẳng trong tiếng Anh là The slope of the line, dịch sát nghĩa tiếng Việt thì nó có nghĩa là “độ dốc/nghiêng của đường thẳng” và được định nghĩa Toán học như sau2

Định nghĩa 2 (Hệ số góc của đường thẳng)

Đường thẳng không song song với trục tung có hệ số góc (slope) miêu tả độ dốc của đường thẳng và được định nghĩa là tỷ lệ sự thay đổi theo $y$ so với sự thay đổi theo $x$ của hai điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng.

Nếu đường thẳng qua hai điểm $(x_1,y_1)$ và $(x_2,y_2)$ thì hệ số góc của đường thẳng được tính bằng công thức ($x_1 \ne x_2$)

Tên gọi của hệ số góc ở mỗi thứ tiếng phụ thuộc nhiều vào định nghĩa tương ứng. Tiếng Việt dùng hệ số góc vì định nghĩa dựa vào góc của đường thẳng và trục hoành. Còn tiếng Anh dùng độ dốc vì định nghĩa dựa vào độ dốc của đường thẳng. Tuy nhiên cả hai định nghĩa này đều cùng nói về một thứ, đó chính là hệ số $a$ trong phương trình đường thẳng $y=ax+b$. Thật vậy, gọi đường thẳng này là (d). Trên (d), ta lấy hai điểm $(x_1,ax_1+b)$ và $(x_2,ax_2+b)$ thì khi đó tỷ số giữa sự chênh lệch theo $y$ so với sự chênh lệch theo $x$ theo như định nghĩa 2 sẽ là

Đây cũng chính là hệ số $a$ trong định nghĩa 1.

Hiểu định nghĩa như thế nào?

Hệ số góc cho ta biết sự nhanh/chậm của sự thay đổi theo $y$ so với sự thay đổi theo $x$ giữa các điểm trên đường thẳng đó. Hay nói cách khác, từ một điểm xuất phát trên đường thẳng, giả sử điểm này có hoành độ là $x_1$, nếu ta thêm hoặc bớt vào $x_1$ một lượng $h$ thì dựa vào độ lớn của hệ số góc $a$, ta sẽ biết được rằng giá trị tương ứng của $y$ khi ấy sẽ thay đổi ít hay nhiều so với $y_1$ ban đầu. Xem hình minh họa bên dưới.

Hệ số góc

Vì $a_2 > a_1$ nên khi $x_1$ tăng lên cùng một khoảng $h$ đến tiến đến vị trí $x_1+h$ thì sự thay đổi của $y$ ứng với $a_2$ là nhiều hơn so với sự thay đổi của $y$ ứng với $a_1$ ($f_2(x_1+h)>f_1(x_1+h)$).

  • Nếu $a>0$, ta hiểu rằng $x$ tăng thì $y$ chắc chắn cũng sẽ tăng theo. Còn tăng ít hay nhiều thì còn tùy thuộc vào độ lớn của $a$.
  • Ngược lại nếu $a<0$ thì khi $x$ tăng, ta biết chắc chắn rằng $y$ sẽ giảm và độ giảm cũng sẽ phụ thuộc vào độ lớn của $a$.
  • Còn nếu $a=0$, rõ ràng khi ấy (d) là đường thẳng song song với trục hoành và sự thay đổi của $x$ sẽ không ảnh hưởng đến sự thay đổi của $y$.

Hệ số góc

Hệ số góc trong thực tế

Chọn chiến lược kinh doanh

Ta xét một ví dụ đầu tiên. Có một công ty kinh doanh tổ chức cuộc họp để định hướng chiến lược kinh doanh cho công ty. Có 4 chiến lược được đề ra và mô phỏng doanh thu của từng chiến lược được nêu ra như hình bên dưới.

Hệ số góc

Đồ thị đường thẳng cho ta biết sự liên quan giữa lợi nhuận thu được và thời gian tính theo năm.

  • Chiến lược 1 (C1), đường thẳng có hệ số góc $a_1=-2$
  • Chiến lược 2 (C2), đường thẳng có hệ số góc $a_2=-\frac{1}{2}$
  • Chiến lược 3 (C3), đường thẳng có hệ số góc $a_3=0$
  • Chiến lược 4 (C4), đường thẳng có hệ số góc $a_4=1$

Nếu là một vị CEO của công ty và phải quyết định chọn chiến lược nào để phát triển thì theo bạn, bạn sẽ chọn chiến lược nào?

  • Chiến lược 1 cho ta lợi nhuận trong thời gian gần ở mức cao nhất.
  • Các chiến lược tiếp theo nếu xét trong thời gian ngắn thì sẽ không mang lại lợi nhuận cao.
  • Chiến lược thứ 4 là tệ nhất nếu áp dụng ở giai đoạn đầu.

Tuy nhiên, khi nhìn vào hệ số góc.

  • C1 và C2 có $a=-2$ và $a=-\frac{1}{2}$ là các số âm nên ta biết chắc chắn lợi nhuận sẽ giảm dần theo từng năm. C1 có $\vert a\vert$ lớn hơn nên ta biết rằng nó sẽ giảm nhanh hơn là C2.
  • C3 thì có $a=0$ nên ta chắc chắn là lợi nhuận sẽ không tăng cũng như không giảm.
  • Riêng C4 có $a=1>0$ nên chắc chắn lợi nhuận sẽ tăng theo thời gian.

Do đó, về mặt lâu dài, chiến lược C4 là có lợi nhất khi lợi nhuận không ngừng tăng dù rằng xuất phát điểm mà nó mang lại là không cao.

Tốc độ hội tụ

Làm sao mà Toán học có thể giải quyết được những vấn đề thực tế? Một trong những cách tiếp cận là các nhà toán học cố gắng biên dịch ngôn ngữ cuộc sống sang ngôn ngữ toán học, người ta gọi quá trình đó là Mô hình hóa. Sơ đồ bên dưới sẽ cho bạn biết quá trình này.

Hệ số góc

Bước 1. Từ mô hình cuộc sống, ví dụ như sự tăng trưởng của các vi khuẩn dưới nhiều tác động thực tế (thức ăn, môi trường sống, các chất diệt khuẩn,…), các nhà toán học chuyển dịch các mối quan hệ đó sang một phương trình toán học mô tả nó. Ví dụ gọi sự tăng trưởng của vi khuẩn là $x$, thức ăn là $a$, chất diệt khuẩn là $r$,… rồi họ tìm mối liên hệ giữa $x,a,r,…$ để biểu diễn thành một phương trình theo $x$.

Từ đây, thay vì họ tiến hành thí nghiệm thực tế (với nhiều chi phí và khó khăn) thì họ chỉ việc điều chỉnh giá trị của các biến và hệ số tương ứng. Ví dụ như thay vì giảm lượng thức ăn và tăng liều diệt khuẩn thì họ chỉ việc giảm giá trị của $a$ và tăng giá trị của $r$,…

Bước 2. Nếu mô hình toán học đó được dựng lên một cách hợp lý (well-posed) và được chứng minh là có một nghiệm thỏa mãn nó ta gọi nghiệm đó là nghiệm chính xác của mô hình.

Bước 3. Thường thì các nhà toán học chỉ có thể chứng minh rằng nghiệm chính xác tồn tại nhưng không thể tìm ra được cụ thể nó là gì. Do đó họ nghĩ tới việc tìm một nghiệm xấp xỉ nó, gọi là nghiệm số. Tất nhiên họ sẽ tìm cách làm sao cho nghiệm số này sẽ càng gần nghiệm chính xác càng tốt.

Bước 4. Để biết sự sai lệch giữa nghiệm chính xác và nghiệm số này, họ xét tới sai số (error) của chúng, ký hiệu là $e$. Sai số này có mối tương quan với một hằng số $h$ (tôi không giải thích chi tiết nó là gì)được biểu thị qua một đường thẳng có phương trình là

Bước 5. Mối tương quan trên cho ta biết rằng khi $h$ càng nhỏ thì nghiệm số sẽ càng “tiến lại gần” nghiệm chính xác. Có rất nhiều phương pháp để tìm nghiệm số khác nhau. Mỗi phương pháp có một cái lợi riêng của nó nhưng điều người ta quan tâm hàng đầu là “tốc độ tiến lại gần” của nghiệm số so với nghiệm chính xác kia. Và hệ số góc $a$ sẽ cho ta biết tốc độ này.

Ta sẽ tìm tất cả các hệ số góc $a$ của tất cả các phương pháp khả dĩ và so sánh chúng. Hệ số góc $a$ nào có $\vert a \vert$ càng lớn tức phương pháp tương ứng đó sẽ càng hiệu quả vì khi đó $e$ sẽ giảm càng nhanh.

Kết

Vậy là bạn đã biết được đôi chút ứng dụng thực tế của hệ số góc đường thẳng và hiểu rõ hơn khái niệm của nó. Trong bài viết tôi có nhắc tới nhiều định nghĩa và phương pháp khá lạ. Tôi sẽ có những bài viết tiếp theo nói về chúng, mời bạn đón đọc.

Tài liệu tham khảo

  1. Bài 5, chương II, SGK lớp 9.NXB Giáo Dục năm 2011. 

  2. Berresford & Rockett. Brief applied calculus, tái bản lần 6. Cengage learning. 

toán sơ cấp
hệ số góc
ý nghĩa thực tiễn
hiểu toán học
Top